اضطراب معادلات السوائل

اضطراب معادلات السوائل : من أبرز المشكلات الرياضية التي تتعلق بتدفق السوائل أو الغازات. هل ما يسمى بمعادلات نافييه-ستوكس المستخدمة لوصفها والتنبؤ بها صحيحة؟

بمناسبة الانتقال إلى الألفية الجديدة في عام 2000 ، اقترح معهد كلاي الرياضي ، وهو مؤسسة أمريكية خاصة ، قائمة بسبع مشاكل سيتم منح حلها جائزة مليون دولار لكل منها. معظم هذه التحديات مجردة للغاية وقد تبدو بعيدة عن أي واقع مادي. على النقيض من ذلك ، ضمن هذه القائمة ، تبدو مشكلة معادلات نافيير-ستوكس ملموسة للغاية: من المفترض أن تصف هذه المعادلات تدفقات السوائل العادية (السوائل أو الغازات).

من أجل تحديد كيف يتصرف السائل في موقف معين ، يمكن للمرء إجراء التجارب. لكن من الناحية العملية ، غالبًا ما يكون صعبًا جدًا أو مكلفًا للغاية. في هذه الحالة ، من الممكن الاعتماد على المحاكاة العددية ، بواسطة الكمبيوتر ، للمعادلات التي تحكم التدفقات. هذه هي الطريقة التي يحسب بها المهندسون المعماريون سلوك الهياكل الكبيرة ، مثل الجسور أو ناطحات السحاب ، تحت تأثير الرياح. تتيح المحاكاة العددية أيضًا تحديد الخصائص الديناميكية الهوائية لسيارة أو قطار فائق السرعة أو طائرة ، دون الحاجة إلى بناء نماذج أولية لهذه الأجهزة واختبارها في نفق هوائي.

تعتمد المحاكاة العددية في ميكانيكا الموائع على استراتيجية حل تقريبية لمعادلات نافيير-ستوكس. هذه المعادلات ، التي تثبت بالتالي أهميتها لأنشطة مصنعي السيارات أو المكاتب الهندسية ، تمت دعوتها إلى هوليوود ، على سبيل المثال ، لمحاكاة الدوامة التي تغرق فيها تيتانيك أثناء غرقها.

إقرأ أيضا:كيف تتعاملين مع حماتك ؟

يجب إثبات وجود الحلول وتفردها

لذلك يلعب حل معادلات نافييه-ستوكس دورًا مهمًا ، سواء في العلوم أو التكنولوجيا. لماذا هذه المعادلات على قائمة “مشاكل الألفية”؟ هل المعادلات التي تحسب لها برامج الكمبيوتر الحلول التقريبية لا تزال ذات أهمية حقيقية لعلماء الرياضيات أو الفيزيائيين؟ المشكلة هي أننا لسنا متأكدين من أن ما تم حسابه هو في الحقيقة حل تقريبي وما إذا كانت النتيجة وفية للواقع.

المقارنة بمثال كلاسيكي للغاية ستلقي بعض الضوء على هذه الأسئلة. من أجل وصف الظواهر الطبيعية بالمعادلات ، ذكر إسحاق نيوتن القوانين التي تحكم ميكانيكا نقطة مادية ، على سبيل المثال القانون الذي بموجبه تكون القوة المؤثرة على كتلة نقطة مساوية لمنتج كتلتها من خلال تسارعها. ضع في اعتبارك عددًا محدودًا من الكتل النقطية ، على سبيل المثال الأجرام السماوية للنظام الشمسي ، التي تُعرف مواقعها وسرعاتها في لحظة معينة. افترض كذلك أن هذه الكتل النقطية تخضع فقط لقوى الجاذبية النيوتونية.

اضطراب معادلات السوائل : في ظل هذه الظروف

في ظل هذه الظروف ، يتم تحديد التطور الكامل للنظام رياضيًا: معرفة مواضع وسرعات نقاط المواد في لحظة معينة ، معادلات الميكانيكا تجعل من الممكن من حيث المبدأ تحديد المواضع والسرعات في أي لحظة لاحقة. تقدم الرياضيات في هذه الحالة صورة حتمية للطبيعة: الشروط الأولية المتطابقة تعني دائمًا نفس التطور بمرور الوقت.

إقرأ أيضا:أسرار أمم أكثر صحة

لسوء الحظ ، لا تقدم معادلات نافييه-ستوكس مثل هذه الحتمية. لم يكن من الممكن حتى الآن إثبات وجود حل لهذه المعادلات في جميع الظروف تحدده الشروط الأولية تمامًا. لذلك لا يزال الوضع غير واضح. علاوة على ذلك ، لم يحدد معهد كلاي كهدف من إظهار وجود حلول لمعادلات نافيير-ستوكس وإثبات أن الحلول ، إن وجدت ، فريدة من نوعها ؛ واقترح بتواضع أكثر لمكافأة “التقدم الأساسي” في هذا الموضوع.

لماذا تثير هذه الفئة من المعادلات الكثير من الصعوبات؟ هذا ما سوف نشرحه في بقية هذا المقال. الإجابة الأولى غير المكتملة هي أنه مع معادلات نافييه-ستوكس ، ننتقل من المنفصل إلى المستمر. إنها “معادلات تفاضلية جزئية” ، وليست معادلات تفاضلية عادية كما في ميكانيكا النقاط.

ماذا يعني ذلك ؟ 

ماذا يعني ذلك ؟ بالنسبة لنقطة متحركة ، قانون نيوتن الثاني ، الذي بموجبه القوة مساوية للكتلة مضروبة في العجلة ، يعادل معادلة تفاضلية ، المجهول هو الموضع x (t) للنقطة والتسارع هو مشتق dv (t) / dt للسرعة v (t) فيما يتعلق بالوقت ، أي المشتق الثاني d2x (t) / dt2 للموضع: في معادلات ميكانيكا النقاط لا تتدخل كوظائف لمتغير واحد ، الوقت ر.

من ناحية أخرى ، يعتمد وصف المائع على وظائف متغيرين على الأقل: الموضع (الموصوف بإحداثيات واحدة أو اثنين أو ثلاثة) والوقت. سرعة المائع عند النقطة r وفي الوقت t يُشار إلى v (r ، t). بالإضافة إلى المشتقات فيما يتعلق بالوقت الذي يأتي ، كما في الحالة الكلاسيكية ، من قانون نيوتن الثاني ، هناك مشتقات فيما يتعلق بإحداثيات الموقع ، لأن الحالة (السرعة ، الضغط) للسائل في نقطة ما تعتمد حول حالة السائل في النقاط المجاورة والتأثير عليها (يتحدث المرء عن المشتقات الجزئية ، لأنه يتعلق بالمشتقات مقارنة بواحد فقط من متغيرات الوظيفة).

إقرأ أيضا:كيف تستثمر 100 أو 200 يورو؟

نظرًا لأننا نقدم وظيفة واحدة على الأقل لكل نقطة في الفضاء وتكون هذه النقاط في عدد لا نهائي (لا نهاية مستمرة ، وليست منفصلة) ، بينما في الحالة المعتادة فقط عدد محدود من وظائف الوقت تتدخل (مواقع أو سرعات النقاط المتحركة في الاعتبار) ، نعتقد أن المعادلات التفاضلية الجزئية أكثر تعقيدًا من المعادلات التفاضلية العادية. لكن هذا ليس سوى جزء صغير من تفسير الصعوبة.

اضطراب معادلات السوائل : دعنا نلقي نظرة فاحصة على معادلات نافيير-ستوكس. 

دعنا نلقي نظرة فاحصة على معادلات نافيير-ستوكس. يصفون سلوك كل من السوائل والغازات. في تجربتنا اليومية ، يبدو أن الماء والهواء يتصرفان بشكل مختلف تمامًا ، لكن هذه الظاهرة ترجع أساسًا إلى الاختلاف في الكثافة ، حيث تبلغ كثافة الماء ألف ضعف كثافة الهواء. في المعادلات ، تظهر كثافة المائع كمعامل ثابت ، وبالتالي لا يغير سلوك الحلول بشكل جذري.

الفرق الواضح الآخر بين السائل والغاز هو قابلية الانضغاط. باستخدام مضخة دراجة بسيطة ، يمكنك بسهولة ضغط حجم من الهواء. الماء ، من جانبه ، غير قابل للضغط ، ويمكن الشعور به بشكل مؤلم عند القفز من لوح الغوص. ومع ذلك ، فإن تجربة مضخة الدراجة غير نمطية: في الجزء العلوي من ناطحات السحاب ، بالنسبة للقطارات أو الطائرات السريعة ، يتصرف الهواء ، بسرعات تصل إلى 300 كيلومتر في الساعة ، كما لو كان غير قابل للضغط.

إذا تم اعتبار السائل مضغوطًا ، أي إذا كانت كثافته يمكن أن تختلف بشكل كبير ، فإن الوضع يكون أكثر تعقيدًا. أيضًا ، في بقية هذه المقالة ، سنقتصر على حالة السوائل غير القابلة للضغط.

250 سنة من التاريخ

من أين تأتي معادلات نافييه-ستوكس؟ يعود تاريخهم إلى القرن الثامن عشر. في عام 1755 ، في مذكراته بعنوان المبادئ العامة لحركة السوائل ، أعطى العالم السويسري العظيم ليونارد أويلر مادة للديناميكا المائية الكلاسيكية ، أو بشكل أكثر دقة ، لميكانيكا السوائل عديمة الاحتكاك.

من خلال تطبيق قوانين نيوتن على الأحجام متناهية الصغر من السوائل ، توصل أويلر إلى نظام معادلات يحمل اسمه اليوم (انظر الإطار أدناه) ، وقدم أول تعريف صارم للضغط في السائل. معادلات أويلر عبارة عن نظام من ثلاث معادلات تشتمل على أربع وظائف غير معروفة للموضع والوقت: المكونات الثلاثة (u ، v ، w) لسرعة السائل (على طول المحاور Ox و Oy و Oz على التوالي) والضغط p. من أجل تحديد نظام فريد من الحلول ، من الضروري تقديم معادلة إضافية ، والتي تترجم محليًا الحفاظ على كتلة السائل.

ذكر أويلر أيضًا هذه المعادلات في حالة السوائل القابلة للانضغاط. يتم استنتاج الحالة غير القابلة للضغط منه بافتراض أن كثافة المائع ثابتة ومستقلة عن الوقت والموقع.

من السهل أن نرى أن معادلات أويلر هي حالة خاصة من معادلات نافييه-ستوكس: يتم تقليل الثواني إلى الأولى بإلغاء مصطلح اللزوجة المرتبط بالاحتكاك.

اضطراب معادلات السوائل : تكشف معادلات أويلر عن صعوبة يشاركونها مع معادلات نافييه-ستوكس:

تكشف معادلات أويلر عن صعوبة يشاركونها مع معادلات نافييه-ستوكس: فهي غير خطية. خاصية اللاخطية ، التي يمكن قراءتها بسهولة من معادلة ، تعني أن مجموع حلين محتملين للمعادلة لا يشكل عمومًا حلًا آخر ممكنًا.

هذا يعني اختلافات كبيرة من المعادلات الخطية. على سبيل المثال ، يمكن أن تحافظ الموجات التي تحكمها المعادلات الخطية وتتداخل دون تفاعل وإزعاج بعضها البعض. بالإضافة إلى ذلك ، لا يمكن أن تصبح حلول المعادلات الخطية أكثر تعقيدًا بكثير من الشروط الحدية (بيانات سرعات السائل على حافة المنطقة التي يشغلها) أو الظروف الأولية (بيانات السرعات الأولية للسائل . السوائل). من ناحية أخرى ، في حالة المعادلة غير الخطية ، حتى الموقف الهندسي البسيط جدًا يمكن أن يؤدي إلى حل (تدفق) شديد التعقيد.

اللزوجة عامل انتظام

الاحتكاك ، الذي يسبب تبديد الطاقة ، هو عنصر معتدل في التدفقات. وهذا يفسر سبب كون معادلات أويلر أكثر “اضطرابًا” من معادلات نافيير ستوكس. على سبيل المثال ، يمكن أن تصف حلول معادلات أويلر التدفقات حيث يتم قص المائع وحيث لا يتم تحديد سرعة المائع على سطح بأكمله. في الواقع ، لهذه الأسباب ، نعلم أنه من غير الممكن الحصول على بيان عام عن تفرد الحلول لمعادلات أويلر.

ومع ذلك ، في الواقع ، لا تعاني السوائل من هذه الغموض ويبدو أن لها سرعات محددة جيدًا في كل مكان. نستنتج أن العنصر الحاسم لا يؤخذ في الاعتبار في معادلات أويلر. دفع هذا جريجوري توكاتي ، ميكانيكي السوائل من أصل روسي الذي توفي في عام 2003 ، إلى اقتراح الاستعارة التالية: مع معادلاته ، صنع لنا الخياط العبقري أويلر سروالًا رائعًا بالتأكيد ، لكنه خالي من أي زر. ما يمنع هذه السراويل من الانزلاق (أو السوائل من الانهيار) هو انتشار الاحتكاك الذي ، في حالة السوائل ، يشار إليه باللزوجة. إذا كانت هذه الظاهرة مألوفة بالنسبة للسوائل مثل العسل أو الزيت ، فهي أقل شيوعًا بالنسبة للغازات ؛

اضطراب معادلات السوائل : صاغ نيوتن بالفعل الفرضية التي بموجبها

صاغ نيوتن بالفعل الفرضية التي بموجبها ، في السائل اللزج الذي يتدفق بين جدارين ، تظهر قوى القص متناسبة مع سرعة السائل. بعد مائة وخمسين عامًا ، حقق مهندس البوليتكنيك الفرنسي كلود لويس نافييه ، بمذكراته حول قوانين حركة السوائل لعام 1822 ، طفرة في النظر في اللزوجة.

انجذب نافيير إلى نظرية بيير سيمون دي لابلاس (1749-1827) الذرية ، حيث وضع عمله في إطار النظرية الجزيئية. لكنه اعتمد على أساليب ميكانيكا الاستمرارية ونظرية المرونة ، التي طورها عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لويس كوشي على وجه الخصوص حوالي عام 1820.

لتفسير اللزوجة ، افترض نافير وجود قوة جذب بين جزيئين ، وشدة هذه القوة تتناقص بسرعة مع المسافة ، واستنتج منها بطريقة رائعة معادلة يمكن استخدامها على نطاق مجهري. وذكر أيضًا أن السائل اللزج لا يمكن أن ينزلق تمامًا على طول جدران القناة ؛ على العكس من ذلك ، يجب أن تكون سرعته على الجدران قريبة من الصفر. هذه هي “حالة عدم الانزلاق” للسائل على طول الجدران.

بعض الخلافات بين نظرية نافير وملاحظاته

بعض الخلافات بين نظرية نافير وملاحظاته ، وكذلك الحاجة إلى توضيح عدة نقاط في التفكير ، حيرة نافير والعلماء الآخرين لم يقتنعوا. لكن المعادلات كانت في مكانها الصحيح.

بعد بضع سنوات ، لا يزال في فرنسا . نجح Adhémar Barré de Saint-Venant في تطوير نظرية السوائل اللزجة دون استخدام فرضيات ذات طبيعة جزيئية. في مذكراته حول ديناميات الموائع المقدمة .في عام 1834 إلى أكاديمية العلوم ، ركز Barré de Saint-Venant على نمذجة السرعة النسبية لجزيئات السوائل ، حيث يُفهم مصطلح .”الجسيم” هنا ضمن معنى الميكانيكا المستمرة ، أي قل كحجم متناهي الصغر من السوائل. إذا أخذنا في الاعتبار أن جسيمين متجاورين يتحركان بسرعات مختلفة ، فإن قوة القص تنتج عن الاحتكاك بين الجسيمين.