خطوة نحو حل مشكلة نافير-ستوكس : هل يمكن أن يتسبب تدفق السائل في ظهور سلوك مضطرب “ينفجر” ، مع اتجه المقادير نحو اللانهاية؟ لا يزال السؤال مفتوحًا ، لكن هناك دليل جديد يميل إلى إظهار أنه ليس كذلك.
ما الذي تشترك فيه فرضية ريمان الشهيرة مع مشكلة الكمبيوتر الأساسية “P = NP”؟ هذه أسئلة مفتوحة تعتبر مهمة جدًا لدرجة أن معهد كلاي للرياضيات صنفها في قائمته الخاصة ” بمشكلات الألفية السبعة” . “. تم حل واحد فقط حتى الآن. من بين الأسئلة الأخرى ، مسألة ميكانيكا الموائع التي تحدت علماء الفيزياء لعقود: معادلة نافييه-ستوكس ، التي تصف الحركة العامة للسائل – السائل أو الغاز – ، هل يتم طرحها بشكل صحيح رياضيًا؟ بعبارة أخرى ، بمجرد تثبيت الشروط الأولية على حركة مائع ، يمكننا أن نضمن أن تطوره ، إذا كان محكومًا تمامًا بهذه المعادلات ، لن ينجرف أبدًا إلى نقطة إعطاء قيم غير محدودة ، وبالتالي سيكون دائمًا متوافقًا للواقع المادي؟ اكتشف دوال بواريا ، من معهد ماكس بلانك بألمانيا ، وزملاؤه ، من خلال المحاكاة ، آلية جديدة للتوهين الجوهري للسلوك المتطرف لتدفق السوائل ،
تصف معادلة نافييه-ستوكس ، الأساسية في ميكانيكا الموائع ، بشكل عام ، تطور سلوك مائع مع مرور الوقت يخضع بشكل خاص لقوى الجاذبية والتشوه الداخلي. إنه ، في جوهره ، الانتقال إلى مائع متحرك لقانون نيوتن الثاني الشهير – “المبدأ الأساسي للديناميكيات” – والذي وفقًا لموجبه يتم تسريع الجسم بما يتناسب مع مجموع القوى التي يتعرض لها ، المعامل التناسب هو كتلته. يمكن تطبيق معادلة Navier-Stokes في العديد من المجالات: التنبؤات الجوية ، ودراسة التيارات البحرية ، وتحسين أجسام الطائرات ، وما إلى ذلك.
إقرأ أيضا:ما علاقة النوم بالنجاح في المدرسة؟جدول المحتويات
في بعض الحالات
في بعض الحالات ، يصبح السائل المتحرك “غير مستقر” وتحدث ظواهر الاضطراب ، مثل الدوامات – على سبيل المثال ، نفكر في العواصف أو الدوامة أو تدفق المياه في قاع الحوض. هذه التكوينات ذات أهمية كبيرة لعلماء الهيدروديناميك ، الذين طوروا كمية فيزيائية لحساب الطبيعة الدوامة للسائل: الدوامة. تقيس هذه الكمية في كل نقطة مقدار “دوران” السائل عند تلك النقطة. على سبيل المثال ، في حالة التدفق في اتجاه واحد (تدفق ثابت للماء في أنبوب أفقي) ، تكون الدوامة صفرًا في كل مكان ، ولكن إذا تشكلت الدوامة في سائل ، تصبح الدوامة غير صفرية وتكون d ‘أعلى من ذلك بكثير عندما يقترب المرء من محور دوران التوربيون.
تتنبأ معادلة نافيير-ستوكس بشكل صحيح بمظهر وتطور الدوامات ؛ علاوة على ذلك ، يمكن للمرء أن يستنتج منها رياضيًا معادلة أخرى ، على وجه التحديد تصف تطور دوامة مائع بمرور الوقت: “معادلة الدوامة”. لكن هذه المعادلة ، مثلها مثل نافيير ستوكس ، تتضمن مصطلحات تسمى “غير خطية” ، أي تكشف عن كميات معينة بقوة غير 1. في الرياضيات ، من المعروف أن حلول هذا النوع من المعادلات تُظهر “المتفجرة” أو السلوكيات “المتشعبة” ، أي أن كميات معينة تميل نحو اللانهاية. في هذه الحالة ، فإن شكل معادلة نافييه-ستوكس أو تباينها في الدوامة يثير الخوف من ظهور الدوامات ، الاكتفاء الذاتي بسبب عدم خطية المعادلة ، وربما تضخيمها بلا حدود. وهذا يعني أن حلولًا معينة للمعادلة ستطور سلوكيات “مرضية” لم تعد تصف تطور السائل بشكل صحيح. هل توجد مثل هذه الحلول؟ هذا هو موضوع مشكلة الألفية المرتبطة بمعادلة نافيير-ستوكس.
إقرأ أيضا:تقوية جهاز المناعة لديكخطوة نحو حل مشكلة نافير-ستوكس : ركز علماء الفيزياء والرياضيات الذين عالجوا المشكلة على لزوجة السائل
ركز علماء الفيزياء والرياضيات الذين عالجوا المشكلة على لزوجة السائل ، وهي “مقاومة التشوه” التي تؤدي إلى نشوء قوة داخلية في السائل. تتميز اللزوجة بالفعل بخاصية تخفيف السلوك المتطرف عن طريق “مقاومة” الضغوط الداخلية الشديدة جدًا – على سبيل المثال ، يكون تكوين دوامة في الزيت أكثر صعوبة منه في الماء ، لأنها أكثر لزوجة. ومن ثم ، فإن الحصة هي معرفة ما إذا كان التضخيم غير الخطي (ردود الفعل الإيجابية) أو التخميد اللزج (ردود الفعل السلبية) هو الذي يفوز. ولكن ، وفقًا للعمل الأخير الذي قام به Dhawal Buaria وزملاؤه ، فإن التأثير التخريبي – وربما “المتفجر” – للمعادلة غير الخطية يتم تعديله أيضًا بواسطة… نفسها!
عندما تظهر الدوامات
لقد أظهر الباحثون في الواقع أنه عندما تظهر الدوامات ، فإن الدوامات ، وهي مهمة في المنطقة المجاورة لها ، تُحدث ردود فعل سلبية تميل إلى منعها من الانفجار. للقيام بذلك ، استخدموا معادلة الدوامة ، والتي تشفر هذه الملاحظات. لكن دراسة هذه المعادلة تمثل صعوبة كبيرة: فهي ليست محلية. هذا يعني أن تطور الدوامة عند نقطة ما لا يعتمد فقط على الدوامة المقاسة بالقرب من هذه النقطة ، بل يتأثر بسلوك السائل ككل. علاوة على ذلك ، فإن هذه اللامركزية ليست غريبة جدًا: فالقوى الأخرى غير محلية ، مثل الجاذبية ، التي تؤثر على النجوم بدون حدود للمسافة.
إقرأ أيضا:أحمر الشفاهثم توصل دوال بواريا وفريقه إلى فكرة فصل ردود الفعل من الدوامة على نفسها إلى فترتين: أحدهما يحدد تأثير النقاط القريبة ، في كرة نصف قطرها R تتمحور حول النقطة المدروسة ، والآخر يشمل تأثير كل السوائل المتبقية “عن بعد”. ميزة هذا التحلل أنه ، حتى لو كان ذلك يعني افتراض أن باقي السائل لا يتضمن أي دوامة أخرى ، فنحن نعرف كيف نتحكم رياضيًا في تأثيره – الإيجابي – على الدوامة. على وجه الخصوص ، لا يمكن أن يؤدي تأثير هذا الجزء من السائل إلى انفجار الدوامة.
خطوة نحو حل مشكلة نافير-ستوكس : لا يمكن أن يؤدي تأثير هذا الجزء من السائل إلى انفجار الدوامة.
يبقى بعد ذلك دراسة مصطلح “محلي”. أظهر الباحثون أنه إذا تم اختيار نصف القطر R صغيرًا بدرجة كافية ، فإن ردود الفعل الناتجة عن هذه المنطقة من السائل على الدوامة كانت سلبية. بعبارة أخرى ، يكشف تقسيم المعادلة عن مصطلح معتدل ، ومصطلح غير قادر على إحداث انفجار: بشكل عام ، لا تنجرف الدوامة بعيدًا. وهذا مهما تنخفض لزوجة السائل! وبالتالي فإن النتيجة تنطبق على الماء بقدر ما تنطبق على الهواء ، على سبيل المثال. هذا يعني أن اللاخطية تعمل على منع ظهور السلوكيات المرضية ، جنبًا إلى جنب مع اللزوجة وظواهر أخرى مثل تبديد الدوامة.
لكن ظل بواريا وزملاؤه لم يبرهنوا على هذه النتيجة رياضيًا. من المستحيل إجراء هذه الحسابات بطريقة دقيقة وشاملة بسبب تعقيد المعادلات في اللعب وتنوع التكوينات المحتملة للسائل (دوامة واحدة أو أكثر ، حركة باقي السائل ، إلخ.) . يعتمد عملهم على حسابات عددية ، دقيقة للغاية على الرغم من أنها تقريبية بالضرورة ، ولكن فقط في بعض التكوينات المضطربة المحددة. تحقق الباحثون من أن النتيجة كانت صحيحة في مواقف هذه اللوحة ، والتي لا تسمح باستبعاد التكوينات الأخرى الأكثر استثنائية. لفهم هذه الظاهرة بشكل أكبر ، يقترح الباحثون عدة طرق: شرح الظاهرة الفيزيائية في العمل في توهين الدوامة ،
الدوامات في معادلات السوائل
تم اتخاذ خطوة جديدة في فهم معادلات نافييه-ستوكس ، التي تصف تدفقات السوائل: لا يكفي الحفاظ على الطاقة لضمان وجود حلول منتظمة.
تدفقات السوائل أو الغازات ، مثل حركات الغلاف الجوي أو التيارات المحيطية أو الاضطراب حول أجنحة الطائرة ، موصوفة بما يسمى معادلات نافيير-ستوكس . نحن لا نعرف كيفية حل هذه المعادلات في إطار عام ، وغالبًا ما يتعين علينا الاكتفاء بحلول تقريبية ، محسوبة بالطرق العددية. وهكذا ، حتى في المواقف البسيطة ، لا يعرف علماء الرياضيات ما إذا كان هناك دائمًا حل منتظم ، أي بدون أن تصبح إحدى الكميات ، مثل السرعة أو الضغط ، لانهائية في نقطة ما بعد وقت محدد. تيرينس تاو ، عالم الرياضيات في جامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس والحائز على ميدالية فيلدز المرموقة في عام 2006 (التي تم ذكر العديد من مساهماتها الرياضية هناو هناك )، للتو نشرت نتيجة لذلك مما يوحي بأن معادلات نافيير ستوكس لن يكون دائما الحلول العادية.
خطوة نحو حل مشكلة نافير-ستوكس : في عام 2000 ،
عام 2000 ، أدرج معهد كلاي مسألة حل معادلات نافيير-ستوكس في قائمته الخاصة بمشكلات الألفية السبع . في بداية عام 2014 ، اقترح عالم الرياضيات الكازاخستاني ، مختارباي أوتيلباييف ، دليلًا على وجود حلول منتظمة ، لكن المتخصصين في هذا المجال سارعوا إلى إيجاد مثال مضاد لنتيجة وسيطة للدليل ، مما يبطلها.
أراد T. Tao من جانبه تقييم قوة بعض الأدوات التي يستخدمها علماء الرياضيات لمحاولة حل هذه المشكلة. تتمثل إحدى خصائص معادلات نافيير-ستوكس في أنها تنطوي على الحفاظ على الطاقة بمرور الوقت. ولكن حتى الآن ، فإن النماذج المبسطة التي درسها علماء الرياضيات والتي تظهر تناقضات بعد فترة زمنية محدودة لم تتضمن خاصية الحفظ هذه. طور T. Tao نموذجًا متعلقًا بمعادلات Navier-Stokes ، لكنه يضمن الحفاظ على الطاقة ، وأظهر أن حل هذا النموذج يتباعد في وقت محدود. وبالتالي ، فإن الحفاظ على الطاقة لا يكفي لضمان انتظام الحلول.
ومع ذلك ، فإن التقنيات التي طورها T. Tao لا تنطبق بالضبط على معادلات Navier-Stokes ، على الأقل في الوقت الحالي. المشكلة السابعة للألفية تبقى مفتوحة …
بولوك وديناميكيات السوائلالدوامات في معادلات السوائل
قام جاكسون بولوك بتقطير الطلاء من العصي التي غمسها في الأواني. وهكذا أصبحت معتمدة على قوانين ديناميات الموائع ، ولا سيما تلك التي تفسر سلوك السوائل المعرضة للجاذبية.
يواجه الفنانون أحيانًا ظواهر طبيعية تحكمها قوانين الفيزياء. يمكننا بعد ذلك التمييز بين عدة أنواع من العلاقات. دعونا نأخذ مثال التدفقات. حاول ليوناردو دافنشي ، من خلال دراسات مختلفة ، فهم حركات السوائل وخاصة الاضطرابات. صور العديد من الرسامين الأمواج ، وتدفق سيل … لكن القليل منهم نجح في جعلها واقعية. هذه الأحداث المتعلقة بديناميات السوائل تحجم بشكل خاص عن الفرشاة.
لا تقتصر الروابط بين تخصص الفيزياء والفن هذا على صعوبة التمثيل هذه وأحيانًا تتخذ مسارات غير متوقعة. وبالتالي ، فإن أدوات تحليل الحركات الانسيابية مناسبة لاستكشاف أعمال بعض الفنانين. في هذا التمرين انخرط كل من Andrzej Herczyn´ski و Claude Cernushi من كلية بوسطن بالولايات المتحدة مع L. Mahadevan من جامعة هارفارد في كامبريدج. نظروا إلى لوحات الأمريكي جاكسون بولوك (1912-1956).
خطوة نحو حل مشكلة نافير-ستوكس : في الأربعينيات من القرن الماضي
في الأربعينيات من القرن الماضي ، استولى الفنان على حظيرة قديمة ، ولكنها ضخمة ، في لونغ آيلاند ، حيث سيكون قادرًا على الانطلاق إلى تنسيقات كبيرة جدًا. للقيام بذلك ، توضع اللوحات ، التي تبلغ مساحتها عدة أمتار مربعة ، على الأرض. كما تخلى بولوك عن الفرشاة وطوّر تقنية جديدة: غمس عصا في وعاء طلاء ، وبعد إزالتها بسرعة . ترك الطلاء يتدفق على القماش في نفس الوقت الذي حرك فيه العصا. لذلك تمت تغطية اللوحات بتشابك من قطرات الطلاء ، والخطوط المستمرة والمتعرجة والمموجة ، والتقارب هو توضيح (انظر الشكل أ).
وهكذا أزعج الرسام الشرائع الجمالية للفن بطريقة مثيرة للاهتمام بشكل خاص. لعلماء الفيزياء ، حيث شارك في المسؤولية عن العمل مع الظواهر الطبيعية لديناميكيات السوائل ، والمؤلفين المشاركين اللاإراديين … أراد أ. أي جزء ذهب إلى الرسام من خلال تحليل تقنية بولوك في الأعمال التي تم إجراؤها بين عامي 1940 و 1950.
لنبدأ بعملية جمع وتشتيت الطلاء. ما مقدار الطلاء الذي تزيله بالعصا؟ بالنسبة لعصا أسطوانية نصف قطرها r 0 ، فإنها تتناسب مع السُمك h للطلاء الملتصق بها (انظر الشكل ب). تعتمد هذه المعلمة على عدة عوامل . بما في ذلك الكثافة ρ واللزوجة μ والسرعة u0 التي يتم بها سحب العصا من القدر. نحسب أن h تساوي تقريبًا Œn „u 0 / g ، n .هي ما يسمى باللزوجة .الحركية للطلاء (m / r) و g ، تسارع الجاذبية. في أبسط الحالات ، عند إزالة العصا عموديًا . يكون الحجم V للطلاء المستخرج بترتيب r 0 Lh ، L هو طول العصا المطلية.
